Chi non ha visto nella sua vita almeno una volta l'insieme di Mandelbrot: quella figura nera contornata di filamenti psichedelici che è diventata l'icona non ufficiale del caos matematico. E pensare che basta una piccolissina modifica nella formula del frattale per ottenere un risultato visivo completamente diverso — con un comportamento geometrico quasi opposto.
Il Mandelbrot classico nasce da una regola semplicissima:
z(n+1) = z(n)² + c
Si parte da z₀ = 0, si itera, e si guarda se la successione esplode o resta limitata. Punto per punto sul piano complesso, questo produce l'insieme che tutti conoscono.
Nella versione che qui vi propongo, il quadrato è finito al denominatore:
z(n+1) = 1 / z(n)² + c
Sembra un dettaglio, ma cambia la natura matematica dell'oggetto: non è più un polinomio ma una funzione razionale, con un polo in z = 0 (dove la formula esplode, essendo una divisione per zero). Per questo la successione non può più partire da z₀ = 0 come nel Mandelbrot originale — ma da z₀ = c.
La conseguenza pratica, scoperta solo esplorando numericamente il piano complesso, è stata “sorprendente”: mentre nel Mandelbrot classico la maggior parte del piano “esplode” e solo una regione centrale resta stabile, qui è vero quasi il contrario.
La stragrande maggioranza del piano è stabile (perché per |c| grande, 1/z² tende a zero e la successione resta quasi ferma), e tutta la complessità frattale — i filamenti, la nidificazione, l'autosimilarità — si nasconde in una fascia sottilissima vicino all'origine, dove il polo distorce la dinamica. Senza un'esplorazione numerica mirata (fatta scandagliando il piano alla ricerca dei punti con la massima variazione nei tempi di fuga) quella zona sarebbe stata quasi impossibile da trovare a occhio nudo.
Quello che si vede nell'animazione qui riportata nasconde un po' di lavoro tecnico che, scritto da zero, richiede facilmente diverse ore anche per chi mastica di programmazione grafica:
- un motore di calcolo che itera la formula pixel per pixel, gestendo il polo (la divisione per zero) senza far esplodere il programma;
- una colorazione a bande calibrata sul numero di iterazioni prima della fuga, pensata apposta per far risaltare gli anelli concentrici autosimili invece di appiattirli in un gradiente generico;
- gestione di pan, zoom con rotellina, doppio tap e pinch a due dita, con tutta la matematica per mantenere il punto sotto le dita fisso durante lo zoom;
- un tour automatico che entra ed esce ciclicamente dalla stessa regione per mostrare la nidificazione senza bisogno di manovrare nulla;
- non meno importante, la fase di esplorazione numerica per trovare dove guardare — senza la quale l'intera animazione avrebbe mostrato solo un'area vuota.
Le funzioni razionali come 1/z² + c non sono solo curiosità grafiche. Ricorrono, in forme diverse, in campi molto meno teorici:
- Metodi numerici e convergenza: gli algoritmi iterativi per trovare radici di equazioni (come il metodo di Newton) generano esattamente questo tipo di mappe razionali. I frattali di Newton mostrano visivamente le zone del piano in cui un algoritmo converge velocemente, lentamente, o non converge affatto — informazione preziosa quando si progettano solutori numerici per l'ingegneria o il controllo automatico.
- Legge dell'inverso del quadrato: la forma 1/z² richiama direttamente la matematica di gravità e campo elettrico. Studiare la dinamica caotica di mappe di questo tipo è collegato allo studio dello scattering caotico — il comportamento imprevedibile di una particella che rimbalza in un campo di forze centrali, rilevante in fisica delle particelle e meccanica celeste.
- Antenne e materiali frattali: strutture geometriche autosimili ispirate a insiemi di Julia e Mandelbrot vengono usate nella progettazione di antenne multibanda compatte (quelle dentro il tuo telefono) proprio perché la ripetizione a scale diverse permette di operare su più frequenze con una singola struttura fisica.
- Grafica procedurale e arte generativa: texture, sfondi, pattern per videogiochi e film spesso nascono da varianti poco note di mappe complesse come questa, proprio perché offrono dettaglio infinito “gratis” — basta zoomare.
Coclusioni
Quello che a primo acchito sembrava un piccolo esperimento — cambiare un esponente da positivo a negativo in una formula — ha richiesto in realtà tre cose in sequenza: capire la matematica del cambiamento, esplorare numericamente dove si nasconde la struttura interessante, e costruire uno strumento interattivo abbastanza fluido da renderla esplorabile con un dito sullo schermo. Fatto a mano, probabilmente sarebbe stata una serata intera solo per trovare il punto giusto da zoomare. Grazie all'IA generativa che è facile dedurre dallo screencast.