Riprendiamo l'equazione cubica, nella forma depressa x³ + px + q = 0 vista nel blog precedente, per mettere a confronto l'eleganza del pensiero matematico classico con la forza bruta del calcolo numerico delle moderne reti neurali.
Grazie a Tartaglia, per la prima volta nella storia dell’umanità si potevano trovare facilmente le radici reali di un'equazione di grado superiore al secondo.
La soluzione è un capolavoro: l'equazione cubica viene trasformata in un sistema di equazioni più semplici, fino a ottenere una formula che esprime le radici mediante operazioni elementari.
Questo procedimento incarna perfettamente lo spirito delle dimostrazioni matematiche: ricondurre problemi complessi a casi noti per poterli così risolvere.
Eppure, la formula di Tartaglia portava in grembo un apparente paradosso che avrebbe tormentato i matematici per secoli: il cosiddetto “caso irriducibile”, ossia espressioni con radici di numeri negativi pur essendo le soluzioni reali.
Era il prodromo dell’invenzione dei numeri complessi.
Ma veniamo al dunque: l’idea di base che ha ispirato questo esperimento è di addestrare una rete neurale a risolvere le cubiche.
Poiché si tratta di un problema che non richiede l'elaborazione di sequenze o dati strutturati, ho scelto una rete relativamente semplice, il percettrone multistrato (MLP - Multi-Layer Perceptron) per la natura non lineare delle relazioni, che deve apprendere la mappatura tra i coefficienti dell'equazione e le sue radici reali.
Quindi, niente architetture più complesse come le reti convoluzionali (CNN), reti ricorrenti (RNN) o transformer.
La scelta del percettrone multistrato riflette lo spirito pragmatico della nostra epoca: non si cerca più la soluzione esatta, ma una sua approssimazione usabile.
Non si ambisce alla bellezza della formula chiusa, ma all'efficienza dell'algoritmo che “funzioni” in un numero sufficiente di casi.
La rete neurale non comprenderà mai la struttura della singola equazione cubica che le viene data in pasto; sputerà semplicemente fuori numeri che approssimano le radici.
La formula di Tartaglia sarebbe vera anche se l'umanità non l'avesse mai scoperta, una verità che trascende le contingenze storiche nel pieno rispetto dell'ideale platonico della matematica intesa come scoperta di verità eterne e necessarie.
L'approccio con la rete neurale, al contrario, incarna una visione puramente strumentale della matematica.
Da un lato abbiamo il bisogno di comprensione profonda, dall’altro l’efficienza rapida dell’approssimazione numerica.
È possibile che il futuro della matematica ci riservi proprio l'integrazione tra il rigore delle dimostrazioni formali e la potenza esplorativa degli algoritmi di apprendimento.
Forse, un giorno le reti neurali ci aiuteranno a scoprire nuove formule esatte che, a loro volta, ci permetteranno di progettare algoritmi di apprendimento più efficienti, come in un circolo virtuoso.
Chissà cosa penserebbe Tartaglia dei miei tentativi di risolvere l'equazione cubica con le reti neurali.
Probabilmente sorriderebbe, consapevole che la sua formula, dopo cinque secoli, continua a mantenere un'eleganza e una profondità che nessun algoritmo di apprendimento potrà mai eguagliare.