La matematica non è solo un insieme di simboli freddi, irreggimentati da regole ferree, ma un vero e proprio universo narrativo ricco di misteri e colpi di scena. Una delle storie più affascinanti di questo universo vede come protagonista Niccolò Tartaglia.
Tartaglia era un brillante autodidatta che riuscì in un'impresa allora considerata impossibile, ossia risolvere pubblicamente le equazioni di terzo grado.
È doveroso precisare che fu Scipione del Ferro nel 1505 il primo a inventare un modo per risolvere le equazioni di terzo grado, che però rivelò solo ai suoi allievi.
La formula rivoluzionaria per risolvere equazioni del tipo \[x^3 + px + q = 0\] rappresentò un vero e proprio salto quantico nella storia dell'algebra.
Tuttavia, questa rivoluzione portava in grembo un
apparente paradosso: in alcuni casi, pur esistendo evidenti soluzioni reali, la formula conduceva oltre i confini noti della matematica di quel tempo.
Studiando l'equazione \[x^3 - 15x = 4\]Tartaglia si accorse che il suo procedimento generava
soluzioni contenenti discriminanti negativi, entità considerate stranezze e niente più, pur sapendo che una radice, facilmente ricavabile per tentativi, è
x = 4
\[x^3 - 15x - 4 = 0\]
\[x^3 + px + q = 0 \quad \text{con} \quad p = -15, \quad q = -4\]
\[x = u + v\]
\[x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3}}\]
\[p = -15, \quad q = -4\]
- \(\frac{q}{2} = -2\)
- \(\frac{p}{3} = -5\)
- \(\left(\frac{q}{2}\right)^2 = 4\)
- \(\left(\frac{p}{3}\right)^3 = (-5)^3 = -125\)
\[\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = 4 - 125 = -121\]
\[x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}\]
Oggi, l’equazione è risolvibile col metodo di Ruffini della scomposizione dei polinomi.\[x_1 = 4, \quad x_2 = -2 + \sqrt{3}, \quad x_3 = -2 - \sqrt{3}\]
Durante le manipolazioni algebriche, i matematici dell'epoca cominciarono a incontrare somme di termini contenenti radici di
numeri negativi che davano come risultato un numero reale, come se queste “stranezze” emergessero dal nulla per poi annullarsi reciprocamente.
Con il linguaggio di oggi, potremmo paragonarle a particelle di materia e antimateria che si distruggono a vicenda annichilendosi.
Senza saperlo, contribuirono così alla nascita dei numeri complessi.
Questa affascinante vicenda ci insegna che, anche nel rigore del linguaggio
matematico, l'intuizione umana può trasformare i paradossi in scoperte
rivoluzionarie.
Nel 1535, Tartaglia compose un indovinello in versi per rivelare a Gerolamo Cardano il metodo risolutivo dell’equazione di terzo grado.
Quando che ‘l cubo con le cose appresso
Se agguaglia a qualche numero discreto:
Trouan dui altri differenti in esso.
Dapoi terrai questo per consueto
Che ‘l lor produtto sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto;
El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sottratti
Varra la tua cosa principale.
In el secondo de cotesti atti
Quando che ‘l cubo restasse lui solo
Tu osservarai quest’altri contratti,
Del numer farai due tal part’à volo
Che l’una in l’altra si produca schietto
El terzo cubo delle cose in siolo;
Delle qual poi, per commun precetto
Torrai li lati cubi insieme gionti
Et cotal somma sara il tuo concetto.
El terzo poi de questi nostri conti
Se solve col secondo se ben guardi
Che per natura son quasi congionti.
Questi trovai, e non con passi tardi
Nel mille cinquecentè, quatro e trenta
